수학을 이해하기 위해서는 우선 공리적 접근(axiomatic approach)에 대해 알아야 한다. 수학적 지식이 컴퓨터 시뮬레이션 결과나 물리적 실험 및 이론 등에 의해 동기 부여 되어 형성되는 경우에도 공리적 접근이 기본이 된다. 공리적 접근이란, 서로 상호 모순 없는(not contradicting one another) 공리(axiom)들을 잘 세운 후, 이를 토대로 정의(definition)와 참인 명제(proposition)들을 빈틈 없이 하나하나 얻어 쌓아 올려가는 접근이다.
공리들(axioms)이란 어떤 대상들의 모임(a collection of objects) \mathcal S의 구조에 대해 가정된(assumed) 규칙들(rules)이고, 일관적(consistent)이며 공리 간 상호 모순이 없도록 만들어 진다. 우리는 \mathcal S에 대한 공리를 사용하여 용어, 기호 등을 정의(definition)하고, \mathcal S에 대한 다른 정보들을 논리적 주장(logical argument, 논증)들을 통해 이끌어 낸다.
명제(statement)란 참(true) 또는 거짓(false)인 주장(assertion)이며, 그 예들은 다음 (1)과 같다.
수학적 증명(mathematical proof)은 가정된 특정 공리들 아래에서 어떤 명제가 참임을 밝히는 논증이다. 증명의 디테일은 청중 또는 독자층에 따라 달라질 수 있지만, 디테일의 생략이 너무 클 경우, 증명의 분명함이 떨어질 수 있다. 예컨대, 학생들에게는 최대한 자세하게 증명해주는 것이 좋다.
(1)의 4번째 명제가 참이라는 것은 가설 명제로부터 전개되는 다음 등식(equality)들로 증명 가능하다. 명제(statement)가 참일 경우, 참인 명제(proposition)라 부른다. 참인 명제는 이하 참명제로 줄여 부르도록 하겠다.
중요도가 높은 참명제(proposition of major importance)는 정리(theorem)라 부른다. 참명제는 어떤 수학적 대상이 갖고 있는 기본적 성질에 대한 명제에 가까운 반면, 정리는 그 수학적 대상을 사용하여 얻을 수 있는 새로운 결과에 대한 명제에 가깝다. 상황에 따라, 예전에는 새롭게 여겨졌던 정리(theorem)가 참명제(proposition)로 쓰이기도 한다(예: 함수 해석학(functional analysis)에서 등장하는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)).
참명제 또는 정리를 증명하는 문제를 여러 작은 참명제들을 증명/종합하는 문제로 생각하는 경우(프로그래밍에서 하나의 함수를 여러 모듈들의 조합으로 구성하는 작업과 유사), 증명에 사용되는 작은 참명제(supporting propositions)들을 보조정리(lemma)라고 부른다.
어떤 참명제 또는 정리가 증명된 경우 종종 관련된 다른 참명제들이 쉽게 유도되기도 하는데, 이들을 따름정리(corollary)라고 부른다.
어떤 명제가 거짓임을 증명할 때는 반례(counterexample)를 드는 방법이 있지만, 참임을 증명할 때는 예(example)를 들어 증명할 수 없다. 물론, 가설을 세워 증명할 수도 없다. 증명할 때 사용하는 수량사들(quantifiers)은 분명히 구분하여 사용해야 한다 — 오직(only), 어떤(some), 모든(all, every, any – 이들 간에도 차이가 있음) 등을 사용할 때 이들을 혼동하여 사용하는 것과 같은 실수가 하나만 있어도 증명 전체가 틀린 것이 된다.
우리가 흔히 알고 있는 공식들과 여러 수학적 약속들은 위와 같은 공리적 접근을 통해 엄밀하게(rigorously) 얻어진 것이다. 따라서, 우리가 알고 있는 수학적 지식들이 어떻게 정의되고 얻어진 것인가에 대해 이해하려 노력하는 것은 수학을 제대로 이해하기 위해서는 꼭 필요하다 할 수 있다.